На основі методу розкладу функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра викладено деякі співвідношення геометрично нелінійної теорії нетонких анізотропних оболонок змінної товщини. Побудовано систему рівнянь рівноваги й відповідні граничні умови.

Викладено спосіб побудови рівнянь рівноваги трансверсально-ізотропних п'єзокерамічних оболонок, поляризованих по товщині. В основу його покладено метод розкладу шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра. Відносно коефіцієнтів розкладу як функцій двох незалежних змінних складається відповідна система диференціальних рівнянь. Наводяться, зокрема, рівняння рівноваги трансверсально-ізотропної сферичної оболонки. Для випадку першого наближення викладено метод побудови загального розв'язку системи.

Розглянуто задачу про просторовий напружено-деформований стан нетонкої трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним отвором, який мало відрізняється від кругового. Вважається, що пластина знаходиться під дією згинальних моментів на контурі отвору і на нескінченності. Для розв'язання задачі запропоновано підхід, який грунтується на спільному застосуванні двох відомих способів: методу розкладу компонентів переміщень і напружень в ряди Фур'є за поліномами Лежандра від координати товщини та методу збурення форми границі. Наведено відповідно рівняння і рекурентні співвідношення, необхідні для розв'язування задачі у довільному наближенні.

Використовуючи математичну теорію пластин, побудовану з використанням методу розкладання функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра, викладено метод знаходження загального розв'язку системи рівнянь рівноваги нетонких трансверсально-ізотропних пластин, що описують симетричний відносно серединної площини напружено-деформований стан.

Розвинуто наближений аналітичний метод визначення напружено-деформованого стану нетонких трансверсально-ізотропних похилих сферичних оболонок з некруговими пружними включеннями або підкріпленими отворами як при ідеальному, так і при неідеальному контакті на границі поділу. В основу його покладено два випробуваних аналітичних методи - метод розкладу шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра і другий варіант методу збурення форми границі.

За допомогою методу розкладу функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра побудовано систему диференціальних рівнянь пружної рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин. Вважається, що коефіцієнти Пуасона постійні, а модулі пружності є лінійними функціями поперечної координати. Викладено метод знаходження загального розв'язку знайденої системи рівнянь.

Викладено спосіб побудови системи диференціальних рівнянь термоп'єзокераміки нетонких анізотропних оболонок постійної товщини. В основу його покладено метод розвинення шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини.

Надано представлення в комплексній формі системи рівнянь рівноваги трансверсально-ізотропної сферичної оболонки з початковими напруженнями та викладено метод побудови загального розв'язку даної системи рівнянь.

Розглянуто задачу про просторовий напружений стан трансверсально-ізотропної пластини з некруговою циліндричною порожниною, що мало відрізняється від кругової. Прийнято, що до поверхні порожнини прикладено нормальні та дотичні напруження, а на нескінченності пластина знаходиться під дією зусиль розтягу та зсуву. Для розв'язання задачі запропоновано підхід, який грунтується на спільному застосуванні методу розкладу шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра від координати товщини та методу збурення форми границі. Наведено відповідні рівняння та рекурентні співвідношення, які необхідні для розв'язання задачі у довільному наближенні.

На базі методу розкладу функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини побудовано систему рівнянь рівноваги нетонких трансверсально-ізотропних п'єзокерамічних пластин за кососиметричного (відносно серединної площини) їх деформування. Запропоновано метод побудови загального розв'язку даної системи і на його підставі розглянуто задачу про напружений стан пластини з круговим отвором за умови механічного її навантаження.

Викладено метод побудови рівнянь рівноваги нетонких анізотропних оболонок із початковими напруженнями в стаціонарному температурному полі. Редукцію тривимірної задачі до двовимірної здійснено варіаційним способом із використанням методу розкладу шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини.

За допомогою методу розкладу функцій в ряд Фур'є за поліномами Лежандра побудовано систему рівнянь рівноваги нетонких трансверсально-ізотропних пластин з однорідним полем початкових напружень. Викладено метод знаходження загального розв'язку даної системи і на його основі розглянуто задачу про напружений стан пластини з круговою циліндричною порожниною.

Викладено метод побудови загального аналітичного розв'язку системи рівнянь рівноваги нетонких трансверсально-ізотропних пластин з використанням методу розкладу невідомих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини. На цій основі розглянуто задачу про напружений стан біля кругового отвору в нетонкій пластині, коли на нескінченності задані напруження розтягу та зсуву.

Запропоновано метод побудови загального аналітичного розв'язку рівнянь статичної електропружності нетонких трансверсально-ізотропних пластин, граничні площини яких електродовано і до яких підведено електричні заряди. В основу покладено метод розвинення невідомих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини. Побудовано систему диференціальних рівнянь і одержано загальний розв'язок, необхідний для визначення напруженого стану електропружних поляризованих по товщині пластин.

Побудовано розв'язок задачі про напружений стан трансверсально-ізотропної пластини, послабленої криволінійним отвором. В основу його покладено метод розвинення шуканих функцій в ряд Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини і метод збурення форми границі. Наведено числові результати для пластин з еліптичним, квадратним і трикутним отворами з закругленими кутами та надано їх аналіз.

За допомогою методу розвинення шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра спільно з методом збурення форми границі одержано розв'язок задачі про напружений стан необмеженої трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним (не круговим) отвором. Пластина перебуває під дією рівномірного всебічного розтягу на нескінченності, а на поверхні отвору задано нульові значення нормального переміщення і дотичних напружень. Наведено числові результати та надано їх аналіз.

За допомогою методу розкладу невідомих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра побудовано рівняння пружної рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин. Викладено спосіб представлення загального аналітичного розв'язку даних рівнянь. Наведено розв'язок задачі про концентрацію напружень біля кругового отвору в необмеженій пластині, що перебуває під дією дотичних зусиль.

За допомогою методу розкладу невідомих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра одержано розв'язок задачі про напружений стан необмеженої трансверсально-ізотропної п'єзокерамічної пластини, послабленої круговим отвором, за змішаних умов на граничних площинах і дії на нескінченності на пластину зусиль розтягу та зсуву. Проведено аналіз напруженого стану пластини в околі отвору.

Методом розкладу шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра разом з методом збурення форми границі розв'язано задачу про напружений стан необмеженої трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним (не круговим) отвором, на граничній поверхні якого задано значення розщіплюючої сили (врівноваженої пари сил, що розщіплюють або стискають пластину по серединній площині). Проведено аналіз напруженого стану пластини з квадратним та трикутним отворами.

Методом розкладу шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра разом з методом збурення форми границі розв'язано задачу про напружений стан необмеженої трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним (не круговим) отвором, на граничній поверхні якого задано значення розщіплюючої сили (врівноваженої пари сил, що розщіплюють або стискають пластину по серединній площині). Проведено аналіз напруженого стану пластини з квадратним та трикутним отворами.